Volumen 14, Número 2, 2022
Polynomial Maps of Spheres
Enrique Antoniano and John J. Ucci
Abstract
The real multiplication map \(\varnothing_{m,m}:\ \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{2m - 1}\) induces a symetric immersion \({\widetilde{\varnothing}}_{m}:\ S^{m - 1} \rightarrow {\mathbb{R}P}^{m - 1} \rightarrow \mathbb{R}^{2m - 2}\) which by a theorem of E.H.Brown has mod two Whitney invariant 1 if and only if \(m = 2^{p}\) for some \(p \geq 1\). As an explanation of this fact we provide an explicit regular homotopy from the immersion \({\widetilde{\varnothing}}_{m}\) to another map essentially given by a polynomial self map of \(S^{m - 1}\) whose degree equals the Whitney invariant of \({\widetilde{\varnothing}}_{m}\) mod \(2\). Another choice of a polynomial self-map of \(S^{m - 1}\) yields an immersion in the regular homotopy class of \({\widetilde{\varnothing}}_{m}\) whose Whitney invariant is visible from its double point set..
DOI: https://doi.org/10.46571/JCI.2022.2.1
Mapas de polinomios de esferas
Enrique Antoniano and John J. Ucci
Resumen
El mapeo de multiplicación polinomial \(\varnothing_{m,m}:\ \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{2m - 1}\) 1induce una inmersión simétrica \({\widetilde{\varnothing}}_{m}:\ S^{m - 1} \rightarrow {\mathbb{R}P}^{m - 1} \rightarrow \mathbb{R}^{2m - 2}\) la cual, por un teorema de E.H. Brown tiene invariante de Whitney 1 si y solo si \(m = 2^{p}\) para algún \(p \geq 1\). Para explicar este hecho, nosotros exhibimos una homotopía regular entre la inmersión \({\widetilde{\varnothing}}_{m}\) y otro mapeo dado esencialmente por un auto mapeo polinomial de \(S^{m - 1}\) cuyo grado es el invariante de Whitney de \({\widetilde{\varnothing}}_{m}\) mod \(2\). AnotherOtra selección de auto mapeo polinomial de \(S^{m - 1}\) conduce a una clase de homotopía regular de \({\widetilde{\varnothing}}_{m}\) cuyo invariante de Whitney es visible desde su conjunto de puntos dobles.
DOI: https://doi.org/10.46571/JCI.2022.2.1
Texto completo: